Спектр сигналов

January 22, 2012 by admin Комментировать »

Форма сигнала, как синусоидального, так и импульсного, является его представлением во временной форме —f(t). Во многих, но не во всех, случаях такая форма представления сигнала удобна для его анализа. Но в ряде случаев, например при оценке нелинейных искажений сигналов или при анализе их прохождения через линейные цепи и устройства, преимущества имеются при другой форме представления сигналов — частотной.

К примеру, сигнал от широкополосной антенны или от множества радиостанций на экране осциллографа выглядит как шум — разобраться в том, какие сигналы его образуют, какие частоты и амплитуды имеют его составляющие, практически невозможно. Однако при переходе от его представления во временной области к представлению в частотной области сигналы всехрадиостанций отчетливо видны на частотной оси анализаторов спектра. Более того, нередко можно определить характер модуляции сигналов.

Для перехода от временной формы f(t) сигнала к его частотному образу в общем случае, используется прямое непрерывное преобразование Фурье

Здесьf(t) — скалярная функция независимой переменной t. Спектр при этом является сплошным и характеризует фактически спектральную плотность сигнала как функцию круговой частоты т=Inf.

Для fit) в виде синусоидальной или косинусоидальной функции решение (2.3) может быть найдено в замкнутой форме через функцию Дирака. Для синусоидального сигнала — это -Ж>(ш-ш0), а для косинусоидального — А\ 8(ю-ю0). Здесь 8(ю- ю0) — функция Дирака, равная 1 при ю-ю0 (или ю=ю0) и 0 во всех других случаях. Таким образом, спектр таких колебаний представляется вертикальной линией с высотой А и частотой а>0. При этом линия имеет бесконечно малую толщину.

Хорошо известно, что периодический сигнал любой формы может быть разложен в ряд Фурье, содержащий постоянную составляющую и сумму гармонических составляющих (гармоник) с частотами, кратными частоте повторения сигнала — частоте его первой гармоники f. Следовательно, спектр такого сигнала представляет собой ряд вертикальных линий в плоскости амплитуда-частота, расположенных на оси частот в местах, соответствующих частотам kf, где к= 1,2,3,…,°°.

Здесь амплитуды гармоник Мк и их фазы ф^ определяются выражениями:

Коэффициенты Фурье рассчитываются по формулам:

Для периодических сигналов y(t)=f(t) часто используется следующая форма представления сигнала рядом Фурье:

и

и

Пределы интегрирования в (2.7) и (2.8) могут быть и иными, например от — Г/2 до + Г/2, но область интегрирования должна охватывать период Г.

На рис. 2.3, а показана форма коротких периодических прямоугольных импульсов, а на рис. 2.3, б их спектр, построенный с применением выражений (2.4) — (2.8). В данном случае для модуля амплитуд гармоник есть аналитическое выражение, которое приведено на графике спектра рис. 2.3, б.

Рис. 2.3. Периодические короткие прямоугольные импульсы (а) и спектр модуля амплитуд их гармоник (б)

Увы, но преобразование (2.3) является теоретической абстракцией, даже если предположить, что сигнал был определен вплоть до текущего момента т. В связи с этим было введено понятие текущего частотного спектра, у которого верхний предел в (2.3) заменяется значением т в определенный момент времени [6]:

Здесь мы перешли от функции F(co) к функции S(co), которая представляет спектральную плотность сигнала. Заметим, что часто анализаторы спектра выводят спектр мощности, т. е. величину У(со), причем с частотой, которая задается в линейном или логарифмическом масштабе.

Выражение (2.9) нетрудно представить в виде:

где модуль спектральной плотности на частоте со и аргумент (фаза)

Здесь синусная и косинусная составляющие спектральной плотности (2.6) определяются выражениями:

Было доказано, что если спектр определен на конечном интервале времени Т, то остаются справедливыми формулы, полученные из предположения периодичности сигнала. Следовательно, любой детерминированный сигнал, определенный на отрезке времени Гего повторения, можно разложить на конечное число гармоник. Разумеется, чем оно больше, тем выше точность спектрального анализа и последующего синтеза сигнала.

Обратное преобразование Фурье задается следующим образом:

Эта формула позволяет по функции F(a>) найти в аналитическом виде функцию f(t). Таким образом, осуществляется синтез сигнала и его восстановление во временной области.

Приборы, обеспечивающие прямое преобразование Фурье и дающие представление сигналов в виде спектров, получили название анализаторов спектра [120]. Не слишком вникая в тонкости их построения и применения (это тема отдельной книги), мы, тем не менее, рассмотрим некоторые их применения, дающие информацию о свойствах и параметрах сигналов.

Источник: Дьяконов В. П.  Генерация и генераторы сигналов / В. П. Дьяконов. — М. : ДМК Пресс, 2009. — 384 е., ил.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты