Дискретное преобразование Фурье

March 31, 2012 by admin Комментировать »

Литература: [Л.1], стр. 388-390

[Л.2], стр. 263-267

                                                                                [Л.3], стр. 197-203

Модель дискретного сигнала вида (8.10) предполагает, что отсчетные значения аналогового (непрерывного) сигнала кретного сигнала, с одной стороны, является периодическим на оси частот с периодом , а спектр периодического на оси времени сигнала является линейчатым, следует ожидать, что спектр рассматриваемого ограниченного дискретного сигнала должен быть периодическим на оси частот и носить линейчатый характер. Действительно, для ограниченного во времени дискретного сигнала его представление (8.10) принимает вид

.                        (8.12)

Поскольку в соответствии с принятой методикой анализа  является периодическим с периодом , разложим его в комплексный ряд Фурье

,                              (8.13)

где    ; .

Комплексные амплитуды  для рассматриваемого случая вычисляются следующим образом

.          (8.14)

Подставляя (8.12) в (8.14), получим

.

Вводя безразмерную переменную  и изменяя порядок суммирования и интегрирования, получим

.

И наконец, учитывая фильтрующее свойство -функции, окончательно приходим к результату

.                   (8.15)

Ввиду того, что  является постоянной величиной, ее в (8.15) можно опустить и пользоваться только номерами отсчетов (8.15) принимает вид

.                           (8.16)

Выражение (8.16) является прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и представляет собой алгоритм вычисления спектральных коэффициентов  при известных значениях отсчетов . При этом, вычисления проводятся с использованием математических операций сложения, умножения и задержки средствами ЭВТ.

Совокупность  представляет собой дискретный спектр периодического дискретного сигнала. На рис. 8.3б изображена спектральная функция дискретного сигнала. Как и предполагалось, спектральная функция является периодической с периодом , поскольку периодическим является сомножитель  в (8.16) и дискретный сигнал также рассматривается как периодический (значения аргумента  повторяются через каждые  отсчетов). При этом, если число отсчетов  дискретного сигнала четное, то первые  значений составляющих  соответствуют положительным частотам, а последующие  значений , а также  – отрицательным частотам (рис. 8.3б). Очевидно, что .

В дальнейшем удобно представлять дискретный сигнал  в виде дискретной последовательности отсчетов . Тогда, в качестве периода  дискретного сигнала  выступает значение  числа отсчетов и последовательность  является периодической с периодом . Аналогично и спектральная функция  является дискретной по оси частот последовательностью с тем же периодом .

Наряду с прямым ДПФ существует и обратное преобразование Фурье

.                             (8.17)

Обратное ДПФ позволяет рассчитать последовательность отсчетных значений , т.е. дискретный сигнал, если известна его спектральная функция в виде совокупности значений . Очевидно, обратное ДПФ приводит к периодической временной функции с периодом в  отсчетов.

Отметим важное для практического использования ДПФ обстоятельство. При выводе (8.16) предполагалось, что дискретный сигнал представляет собой периодическую функцию времени. Вместе с тем на практике дискретный сигнал определен на интервале  или на интервале . Вне этого интервала отсчетные значения равны нулю, однако и в этом случае выражения (8.16) и (8.17) справедливы для расчетов. Действительно, последовательность отсчетов , определенных на интервале , можно рассматривать как только один период соответствующей периодической последовательности и значения , рассчитанные в соответствии с (8.16) следует считать равными нулю вне интервала . Аналогично, обстоит дело и при вычислении значений  по формуле (8.17).

Рассмотрим некоторые свойства ДПФ. Для краткости записи пару ДПФ будем представлять в виде

.

1.                Линейность ДПФ. Пусть  и  два дискретных сигнала длиной  отсчетов, а  и  – постоянные коэффициенты. Тогда

.            (8.18)

2.                Свойство временного сдвига. Если дискретному сигналу  соответствует ДПФ , то

,                           (8.19)

т.е. сдвиг дискретного сигнала на  интервалов  приводит к изменению только его фазового спектра. Отметим, что временной сдвиг для дискретной последовательности представляет собой, так называемый круговой сдвиг. При круговом сдвиге значения отсчетов в зависимости от знака  поочередно переносятся в начало или конец последовательности . Так, например, круговой сдвиг последовательности  на  интервалов при  приводит к последовательности

,

т.е.  отсчетов  поочередно переносятся в конец последовательности.

3.    Свойство симметрии. Это свойство фактически было уже рассмотрено выше при анализе спектральной функции (рис. 8.3б). Если  – четное число, то свойство симметрии определяется следующим выражением

.                                  (8.20)

Приведем некоторые соотношения, вытекающие из (8.16).

Спектральная составляющая

,                                (8.21)

является средним значением всех отсчетов.

Если  – четное число, то

.                              (8.22)

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты