Литература: [Л.1], с 23-29
[Л.2], с 30-32
В современной теории радиотехнических сигналов широкое применение находят геометрические представления сигналов, использующие такие понятия как пространство, вектор, расстояние, проекция и т.д. Поэтому, для уяснения сущности геометрического представления необходимо познакомиться с этими понятиями.
Как уже подчеркивалось выше, для передачи сообщений в РТИС используется множество сигналов
Т.к. импульсы не перекрываются во времени (проекция одного импульса на другой по оси времени равна нулю), то совокупность двух импульсов, отображающих сигнал , можно представить точкой в двумерной системе координат, образованной взаимноперпендикулярными векторами
и
(рис.1.9). Отрезок прямой, проведенный из начала системы координат в точку с координатами
и
представляет собой вектор
сигнала
при его данном динамическом представлении. Тогда математически его можно записать в виде
.
Если представить тремя импульсами, то сигнал
будет отображаться вектором
в трехмерном пространстве, четырьмя импульсами-вектором в четырехмерном пространстве, n импульсами-вектором в n-мерном пространстве. Таким образом, в общем случае сигнал
отображается вектором
в абстрактном n-мерном пространстве. При этом пространство может быть бесконечномерным.
Отметим, что совокупность векторов образуют координатный базис пространства. Очевидно, с изменением значений сигнала
во времени длина вектора
и его положение в пространстве будет также меняться.
Для дальнейшего рассмотрения геометрического представления зафиксируем момент времени , т.е. сделаем как бы фотографический снимок пространства. Это позволит на время абстрагироваться от динамики изменения сигнала и рассмотреть свойства пространства, используемого для геометрического представления. Кроме того, при характеристике пространства будем использовать его n-мерную модель, а для графических иллюстраций – двумерное пространство.
Исходя из этих предположений, вектор сигнала можно записать следующим образом
. (1.20)
В теории радиотехнических сигналов пространство для геометрического представления должно быть линейным.
Линейное пространство обладает следующими основными свойствами:
– если векторы и
принадлежат пространству
, то и вектор
также принадлежит этому пространству, причем (рис.1.10)
; (1.21)
Рис. 1.10
– определена операция умножения вектора на любое вещественное число
, причем
; (1.22)
– пространство содержит нулевой элемент , причем
. (1.23)
Поскольку при анализе сигналов, как правило, пользуются количественными характеристиками, пространство геометрического представления должно позволять определять длину векторов для их сравнения. Длину вектора называют нормой , а пространство, в котором определена норма – нормированным пространством. Основными свойствами линейного нормированного пространства являются:
– для любого вещественного числа норма
; (1.24)
– если и
– два вектора, принадлежащие линейному нормированному пространству, то:
. (1.25)
Свойство (1.25) отображает так называемое правило треугольника, известное из курса геометрии, в справедливости которого можно убедиться из рис.1.10.
В качестве нормы в теории радиотехнических сигналов используют величину
. (1.26)
Очевидно квадрат нормы
, представляет собой энергию сигнала.
Введение понятия нормы позволяет определять длину векторов, представляющих сигналы в линейном нормированном пространстве, но не позволяет определять расстояние между векторами. Для того чтобы это стало возможным необходимо ввести понятие расстояния между векторами и
, т.е. величину
, называемую метрикой. Тогда линейное нормированное пространство становится метрическим. Метрика пространства должна удовлетворять условиям:
– расстояние между одинаковыми векторами равно нулю, т.е.
; (1.27)
– расстояние между векторами и
, должно быть равно расстоянию между
и
, т.е.
(1.28)
– должно выполняться правило треугольника, т.е.
. (1.29)
В теории радиотехнических сигналов в качестве метрики используют норму разности двух сигналов
. (1.30)
Нетрудно убедиться, что величина (1.30) удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства.
И, наконец, взаимное расположение двух векторов пространстве оценивается величиной угла между ними, который определяется выражением
, (1.31)
где числитель представляет собой скалярное произведение векторов.
Таким образом, для геометрического представления сигналов в радиотехнике используется линейное метрическое нормированное пространство. Если пространство конечномерное (координатный базис содержит конечное число векторов ), то такое пространство называют Евклидовым. Бесконечномерное пространство называется Гильбертовым пространством.
Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.
- Предыдущая запись: Дискретные случайные процессы
- Следующая запись: Электронные устройства для работы со звуковой картой – ЧАСТЬ 2
- ЗВУКОВОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ ОХРАНЫ МОТОЦИКЛА (0)
- БУФЕРНОЕ УСТРОЙСТВО C ЕДИНИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ ДЛЯ АЦП (0)
- УПРАВЛЯЕМЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ СИГНАЛА ОБРАТНОГО ХОДА ЛУЧА (0)
- ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ СИНХРОННЫХ СИГНАЛОВ B АСИНХРОННЫЕ (0)
- ПРИЕМНИК B ДИАПАЗОНЕ 7 МГЦ HA ОСНОВЕ ИНВЕРТОРА (0)
- ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ТОК/НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ЗАЗЕМЛЕННЫХ НАГРУЗОК (0)
- КВАРЦЕВЫЙ ГЕНЕРАТОР C УДВОЕНИЕМ ЧАСТОТЫ (0)