Геометрическое представление сигналов

Литература: [Л.1], с 23-29

[Л.2], с 30-32

В современной теории радиотехнических сигналов широкое применение находят геометрические представления сигналов, использующие такие понятия как пространство, вектор, расстояние, проекция и т.д. Поэтому, для уяснения сущности геометрического представления необходимо познакомиться с этими понятиями.

Как уже подчеркивалось выше, для передачи сообщений в РТИС используется множество сигналов

Т.к. импульсы не перекрываются во времени (проекция одного импульса на другой по оси времени равна нулю), то совокупность двух импульсов, отображающих сигнал , можно представить точкой в двумерной системе координат, образованной взаимноперпендикулярными векторами и (рис.1.9). Отрезок прямой, проведенный из начала системы координат в точку с координатами   и   представляет собой вектор сигнала  при его данном динамическом представлении. Тогда математически его можно записать в виде

.

Если представить  тремя импульсами, то сигнал  будет отображаться вектором  в трехмерном пространстве, четырьмя импульсами-вектором в четырехмерном пространстве, n импульсами-вектором в n-мерном пространстве. Таким образом, в общем случае сигнал  отображается вектором  в абстрактном n-мерном пространстве. При этом пространство может быть бесконечномерным.

Отметим, что совокупность векторов  образуют координатный базис пространства. Очевидно, с изменением значений сигнала  во времени длина вектора  и его положение в пространстве будет также меняться.

Для дальнейшего рассмотрения геометрического представления зафиксируем момент времени , т.е. сделаем как бы фотографический снимок пространства. Это позволит на время абстрагироваться от динамики изменения сигнала и рассмотреть свойства пространства, используемого для геометрического представления. Кроме того, при характеристике пространства будем использовать его n-мерную модель, а для графических иллюстраций – двумерное пространство.

Исходя из этих предположений, вектор сигнала  можно записать следующим образом

.          (1.20)

В теории радиотехнических сигналов пространство для геометрического представления должно быть линейным.

Линейное пространство обладает следующими основными свойствами:

– если векторы и принадлежат пространству , то и вектор  также принадлежит этому пространству, причем (рис.1.10)

;                                  (1.21)

                    

Рис. 1.10

– определена операция умножения вектора на любое вещественное число , причем

;                       (1.22)

– пространство содержит нулевой элемент , причем

.                                      (1.23)

Поскольку при анализе сигналов, как правило, пользуются количественными характеристиками, пространство геометрического представления должно позволять определять длину векторов для их сравнения. Длину вектора называют нормой , а пространство, в котором определена норма – нормированным пространством. Основными свойствами линейного нормированного пространства являются:

– для любого вещественного числа  норма

;                                      (1.24)

– если и– два вектора, принадлежащие линейному нормированному пространству, то:

.                                (1.25)

Свойство (1.25) отображает так называемое правило треугольника, известное из курса геометрии, в справедливости которого можно убедиться из рис.1.10. 

         В качестве нормы в теории          радиотехнических сигналов исполь­зуют величину 

  .             (1.26)

Очевидно квадрат нормы

          ,                    представляет собой энергию сигнала.

Введение понятия нормы позво­ляет определять длину векторов, представляющих сигналы в линей­ном нормированном пространстве, но не позволяет определять рас­стояние между векторами. Для того чтобы это стало возможным не­обходимо ввести понятие расстояния между векторами и , т.е. величину , называемую метрикой. Тогда линейное нормирован­ное пространство становится метрическим. Метрика про­странства должна удовлетворять условиям:

– расстояние между одинаковыми векторами равно нулю, т.е.

;                                         (1.27)

– расстояние между векторами и, должно быть равно рас­стоянию между  и , т.е.

                                 (1.28)

– должно выполняться правило треугольника, т.е.

.                           (1.29)

В теории радиотехнических сигналов в качестве метрики ис­пользуют норму разности двух сигналов

.                                   (1.30)

Нетрудно убедиться, что величина (1.30) удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства.

И, наконец, взаимное расположение двух векторов пространстве оценивается величиной угла  между ними, который определяется выражением

,                                      (1.31)

где числитель представляет собой скалярное произведение векторов.

Таким образом, для геометрического представления сигналов в радиотехнике используется линейное метрическое нормированное пространство. Если пространство конечномерное (координатный базис содержит конечное число векторов ), то такое пространство называют Евклидовым. Бесконечномерное пространство называется Гильбертовым пространством.

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

• Предыдущая запись: Дискретные случайные процессы
• Следующая запись: Электронные устройства для работы со звуковой картой – ЧАСТЬ 2

Похожие посты:

• ЗВУКОВОЕ УСТРОЙСТВО ДЛЯ ОХРАНЫ МОТОЦИКЛА (0)
• БУФЕРНОЕ УСТРОЙСТВО C ЕДИНИЧНЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ УСИЛЕНИЯ ДЛЯ АЦП (0)
• УПРАВЛЯЕМЫЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ СИГНАЛА ОБРАТНОГО ХОДА ЛУЧА (0)
• ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ СИНХРОННЫХ СИГНАЛОВ B АСИНХРОННЫЕ (0)
• ПРИЕМНИК B ДИАПАЗОНЕ 7 МГЦ HA ОСНОВЕ ИНВЕРТОРА (0)
• ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ТОК/НАПРЯЖЕНИЕ ДЛЯ ЗАЗЕМЛЕННЫХ НАГРУЗОК (0)
• КВАРЦЕВЫЙ ГЕНЕРАТОР C УДВОЕНИЕМ ЧАСТОТЫ (0)