Геометрическое представление сигналов

March 8, 2012 by admin Комментировать »

Литература: [Л.1], с 23-29

[Л.2], с 30-32

В современной теории радиотехнических сигналов широкое применение находят геометрические представления сигналов, использующие такие понятия как пространство, вектор, расстояние, проекция и т.д. Поэтому, для уяснения сущности геометрического представления необходимо познакомиться с этими понятиями.

Как уже подчеркивалось выше, для передачи сообщений в РТИС используется множество сигналов

Т.к. импульсы не перекрываются во времени (проекция одного импульса на другой по оси времени равна нулю), то совокупность двух импульсов, отображающих сигнал , можно представить точкой в двумерной системе координат, образованной взаимноперпендикулярными векторами и (рис.1.9). Отрезок прямой, проведенный из начала системы координат в точку с координатами   и   представляет собой вектор сигнала  при его данном динамическом представлении. Тогда математически его можно записать в виде

.

Если представить  тремя импульсами, то сигнал  будет отображаться вектором  в трехмерном пространстве, четырьмя импульсами-вектором в четырехмерном пространстве, n импульсами-вектором в n-мерном пространстве. Таким образом, в общем случае сигнал  отображается вектором  в абстрактном n-мерном пространстве. При этом пространство может быть бесконечномерным.

Отметим, что совокупность векторов  образуют координатный базис пространства. Очевидно, с изменением значений сигнала  во времени длина вектора  и его положение в пространстве будет также меняться.

Для дальнейшего рассмотрения геометрического представления зафиксируем момент времени , т.е. сделаем как бы фотографический снимок пространства. Это позволит на время абстрагироваться от динамики изменения сигнала и рассмотреть свойства пространства, используемого для геометрического представления. Кроме того, при характеристике пространства будем использовать его n-мерную модель, а для графических иллюстраций – двумерное пространство.

Исходя из этих предположений, вектор сигнала  можно записать следующим образом

.          (1.20)

В теории радиотехнических сигналов пространство для геометрического представления должно быть линейным.

Линейное пространство обладает следующими основными свойствами:

– если векторы и принадлежат пространству , то и вектор  также принадлежит этому пространству, причем (рис.1.10)

;                                  (1.21)

                    

Рис. 1.10

– определена операция умножения вектора на любое вещественное число , причем

;                       (1.22)

– пространство содержит нулевой элемент , причем

.                                      (1.23)

Поскольку при анализе сигналов, как правило, пользуются количественными характеристиками, пространство геометрического представления должно позволять определять длину векторов для их сравнения. Длину вектора называют нормой , а пространство, в котором определена норма – нормированным пространством. Основными свойствами линейного нормированного пространства являются:

– для любого вещественного числа  норма

;                                      (1.24)

– если и– два вектора, принадлежащие линейному нормированному пространству, то:

.                                (1.25)

Свойство (1.25) отображает так называемое правило треугольника, известное из курса геометрии, в справедливости которого можно убедиться из рис.1.10. 

         В качестве нормы в теории          радиотехнических сигналов исполь­зуют величину 

  .             (1.26)

Очевидно квадрат нормы

          ,                    представляет собой энергию сигнала.

Введение понятия нормы позво­ляет определять длину векторов, представляющих сигналы в линей­ном нормированном пространстве, но не позволяет определять рас­стояние между векторами. Для того чтобы это стало возможным не­обходимо ввести понятие расстояния между векторами и , т.е. величину , называемую метрикой. Тогда линейное нормирован­ное пространство становится метрическим. Метрика про­странства должна удовлетворять условиям:

– расстояние между одинаковыми векторами равно нулю, т.е.

;                                         (1.27)

– расстояние между векторами и, должно быть равно рас­стоянию между  и , т.е.

                                 (1.28)

– должно выполняться правило треугольника, т.е.

.                           (1.29)

В теории радиотехнических сигналов в качестве метрики ис­пользуют норму разности двух сигналов

.                                   (1.30)

Нетрудно убедиться, что величина (1.30) удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства.

И, наконец, взаимное расположение двух векторов пространстве оценивается величиной угла  между ними, который определяется выражением

,                                      (1.31)

где числитель представляет собой скалярное произведение векторов.

Таким образом, для геометрического представления сигналов в радиотехнике используется линейное метрическое нормированное пространство. Если пространство конечномерное (координатный базис содержит конечное число векторов ), то такое пространство называют Евклидовым. Бесконечномерное пространство называется Гильбертовым пространством.

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты