ДИСКРЕТНЫЕ И ЦИФРОВЫЕ СИГНАЛЫ

April 8, 2012 by admin Комментировать »

3.1. Теорема Котельникова

Литература: [Л.1], с 122-127

[Л.2], с 66-70

[Л.3], с 187-190

Передача непрерывных (аналоговых) сигналов по линии связи предполагает передачу бесконечного множества их мгновенных значений на протяжении конечного промежутка времени. При этом спектр финитного, т.е. ограниченного во времени, непрерывного сигнала бесконечен. Однако, на практике различные радиотехнические устройства (фильтры, усилители и другие) имеют ограниченную полосу пропускания, что приводит к ограничению спектра сигнала некоторой граничной частотой Тогда отношение

               (3.8)

может  служить  оценкой точности восстановления сигнала. Задаваясь величиной  можно определить частоту , а следовательно и частоту дискретиза ции .

Рассмотрим следующий пример. Пусть сигнал  на интервале времени  описывается экспоненциальной функцией

Воспользовавшись преобразованием Фурье, найдем спектральную функцию сигнала

.

Модуль спектральной функции        

,

а энергетический спектр

.

Воспользовавшись выражением (3.5), найдем энергию сигнала

.

В соответствии с (3.6), вычислим :

.

При расчете  и  использован табличный интеграл

.

Найдем величину среднеквадратичной ошибки восстановления

.

Представим

.

Тогда

,

откуда следует

.

Полагая, что для малых значений

,

получим

.

Теперь можно найти

,

или переходя к циклическим частотам

.

Частота дискретизации

.

Таким образом, задаваясь величиной  можно определить частоту дискретизации непрерывного сигнала. Очевидно, число отсчетов при дискретизации рассматриваемого сигнала будет равно

.

Из приведенного примера следует, что чем меньшую ошибку восстановления требуется обеспечить, тем выше должна быть частота дискретизации.

Теорема Котельникова устанавливает однозначное соответствие между аналоговым сигналом и отсчетами его мгновенных значений во временной области. Оказывается, можно сформулировать теорему отсчетов и в частотной области. При этом примем во внимание, что комплексный спектр одиночного сигнала длительностью  является сплошным. Тогда имеет место следующее утверждение. Спектральная функция  сигнала , ограниченного во времени величиной  полностью определяется совокупностью отсчетов , отстоящих друг от друга на частотный интервал , т.е.

.                     (3.9)

Теорема отсчетов в частотной области основывается на свойстве симметрий преобразований Фурье относительно переменных (или ) и . Суть этого свойства состоит в том, что преобразование Фурье периодического сигнала с периодом  приводит к линейчатой (дискретной) спектральной функции, где отдельные спектральные составляющие (см. подраздел 2.1) отстоят друг от друга по оси частот на величину  (или ), и наоборот, преобразование Фурье периодической спектральной функции с периодом  приводит к дискретной временной функции с периодом .

Исходя из этого свойства, если в (3.2) заменить  на ;  на , а  на , то в результате получим выражение (3.9). Как и в случае разложения сигнала  в ряд Котельникова, разложение его спектра ограничивается  отсчетами. Тогда выражение (3.5) в частотной области принимает вид

.             (3.10)

Казалось бы, для восстановления спектральной функции  по совокупности отсчетов , необходимо знать  отсчетов модуля и  отсчетов аргумента комплексных величин . Однако, если учесть, что модуль спектра , т.е. амплитудный спектр является четной функцией, а аргумент , т.е. фазовый спектр – нечетной функцией, то число независимых отсчетов сокращается вдвое и составляет , т.е. равно базе сигнала.

Подводя итог вышеизложенному, отметим, что теорема Котельникова устанавливает принципиальную возможность представления непрерывного сигнала последовательностью его мгновенных значений. Такую операцию иногда называют импульсным преобразованием непрерывного сигнала. Такое преобразование лежит в основе импульсных методов передачи сообщений в радиотехнических системах. Более того, дискретизация непрерывных сигналов в соответствии с теоремой Котельникова является промежуточной операцией при формировании цифровых сигналов, которые в настоящее время нашли самое широкое распространение как в радиотехнических системах передачи сообщений, так и радиоэлектронных системах обработки, отображения и регистрации информации, и во многих других областях.

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты