Интегральное преобразование Фурье

April 28, 2012 by admin Комментировать »

Литература: [Л.1], с 43-48

[Л.2], с 49-54

[Л.3], с 17-20

Рассмотренный выше гармонический анализ периодических сигналов можно обобщить и на непериодические (одиночные) сигналы. Возвратимся к периодическому сигналу произвольной формы (рис. 2.6, а).

Рис. 2.6

Увеличим значение

                                                Рис. 2.7

Сравнение спектральных диаграмм рис. 2.4 и рис. 2.7,б показывает, что формы огибающей линейчатого и сплошного спектров совпадают, что подтверждает сделанные ранее выводы. При этом как огибающая линейчатого, так и огибающая сплошного спектров достигают нулевого значения на частотах ω = 2lπ/τ, где . При значение спектральной функции равно площади  импульса.

Перейдем к рассмотрению основных свойств преобразования Фурье. Для краткости записи пару преобразований (прямое и обратное) символически будем представлять следующим образом:

1. Линейность преобразования Фурье

,           (2.43)

где          и – произвольные числовые коэффициенты.

Доказательство формулы (2.43)  не вызывает затруднений, для этого достаточно подставить сумму  в выражение (2.27).

2. Свойство временного сдвига  (теорема запаздывания)

.                         (2.44)

Т.к. , то (2.44) можно представить в виде

.                       (2.45)

Таким образом задержка сигнала во времени на величину  приводит к изменению его фазового спектра на .

3. Изменение масштаба времени

.                              (2.46)

В зависимости от величины  имеет место либо сжатие , либо растяжение  сигнала во времени. Из (2.46) следует, что при  сжатии сигнала во времени в  раз происходит расширение его спектра во столько же раз. И наоборот.

4. Операция дифференцирования

                            .                         2.47)

При дифференцировании сигнала  все гармонические составляющие его спектра изменяют начальную фазу на .

5. Операция интегрирования

.                     (2.48)

При интегрировании сигнала все гармонические составляющие его спектра изменяют начальную фазу на . Свойство (2.48) справедливо, если

.

6. Если   , то

.                 (2.49)

Интеграл в правой части выражения (2.49) называется сверткой. Таким образом, преобразование Фурье произведения сигналов представляет собой свертку (с коэффициентом ) их спектров. В частном случае при  и равенстве двух сигналов  можно получить следующее соотношение:

,            (2.50)

которое  представляет собой интегральную форму равенства Парсеваля (2.22). Из этого соотношения следует, что полная энергия непериодического сигнала равна сумме энергий всех его спектральных составляющих. При этом зависимость

,                            (2.51)

представляет собой спектральную плотность энергии или энергетический спектр одиночного сигнала.

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты