Корреляционно-спектральный анализ  детерминированных сигналов

April 10, 2012 by admin Комментировать »

Литература: [Л.1], с 77-83

[Л.2], с 22-26

[Л.3], с 39-43

Во многих радиотехнических задачах часто возникает необходимость сравнения сигнала и его копии, сдвинутой на некоторое время

При снятии АКФ на один из входов перемножителя поступает сигнал , а на второй – этот же сигнал, но задержанный на время . Сигнал, пропорциональный произведению , подвергается операции интегрирования. На выходе интегратора формируется напряжение, пропорциональное значению АКФ при фиксированном . Изменяя время задержки, можно построить АКФ сигнала.

Для экспериментального построения ВКФ сигнал  подается на один из входов перемножителя, а сигнал  – на устройство задержки (входящие цепи показаны пунктиром). В остальном, устройство работает аналогичным образом. Отметим, что описанное устройство называется коррелятором и широко используется в различных радиотехнических системах для приема и обработки сигналов.

До сих пор мы проводили корреляционный анализ непериодических сигналов, обладающих конечной энергией. Вместе с тем, необходимость подобного анализа часто возникает и для периодических сигналов, которые теоретически обладают бесконечной энергией, но конечной средней мощностью. В этом случае АКФ и ВКФ вычисляются усреднением по периоду и имеют смысл средней мощности (собственной или взаимной соответственно). Таким образом, АКФ периодического сигнала:

,                       (2.66)

а взаимная корреляционная функция двух периодических сигналов с кратными периодами:

,                        (2.67)

где    – наибольшее значение периода.

Найдем автокорреляционную функцию гармонического сигнала

,

где    – круговая частота,   – начальная фаза.

Подставляя это выражение в (2.66) и вычисляя интеграл с использованием известного тригонометрического соотношения:

,

получим:

.

Из рассмотренного примера можно сделать следующие выводы, справедливые для любого периодического сигнала.

1. АКФ периодического сигнала является периодической функцией с тем же периодом.

2. АКФ периодического сигнала является четной функцией аргумента .

3. При  значение  представляет собой среднюю мощность, которая выделяется на сопротивлении в 1 Ом и имеет размеренность .

4. АКФ периодического сигнала не содержит информации о начальной фазе сигнала.

Следует также отметить, что интервал корреляции периодического сигнала .

А теперь вычислим взаимную корреляционную функцию двух гармонических сигналов одинаковой частоты, но отличающихся амплитудами и начальными фазами

   и   .

Воспользовавшись (2.67) и проводя несложные вычисления, получим

,

где  – разность начальных фаз сигналов  и .

Таким образом, взаимная корреляционная функция двух рассматриваемых сигналов содержит информацию о разности начальных фаз. Это важное свойство широко используется при построении различных радиотехнических устройств, в частности, устройств синхронизации некоторых систем радиоавтоматики и других.

В заключение установим связь между АКФ непериодического сигнала и его энергетическим спектром, определение которого [см. (2.51)] было дано выше. Для этого воспользуемся (2.49) при . Тогда получим соотношение

,     (2.68)

где          – функция, комплексно сопряженная с .

Положим теперь  и . В соответствии с (2.45) преобразование Фурье имеет вид

.

С другой стороны

.

Подставляя эти выражения в (2.68), получим

.

Но  в соответствие с (2.51) есть энергетический спектр. Тогда окончательно

.                      (2.69)

Применяя к  прямое преобразование Фурье, приходим к соотношению

.                            (2.70)

Таким образом, АКФ и энергетический спектр сигнала связаны парой преобразований Фурье.

Так как  и  – вещественные и четные функции, выражения (2.69) и (2.70) можно записать соответственно в виде

,                           (2.71)

.                           (2.72)

Рассмотренный корреляционно-спектральный анализ позволяет дать еще одну трактовку эффективной ширины спектра. Если известен энергетический спектр, то эффективная ширина спектра определяется так:

.          (2.73)

         Иными словами  представляет собой сторону прямоугольника по площади равного площади под кривой одностороннего спектра, вторая сторона которого равна  (рис.2.13). Очевидно, произведение эффективной ширины энергетического спектра  на величину интервала корреляции  есть величина постоянная

                                      .

Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с проявлением принципа неопределенности: чем больше интервал корреляции, тем меньше ширина энергетического спектра, и наоборот.

Контрольные вопросы к главе 2

 

1.    Что такое система базисных тригонометрических функций?

2.    Как можно записать тригонометрический ряд Фурье?

3.    Дайте определение амплитудного и фазового спектра периодического сигнала.

4.    Какой характер носит спектр последовательности прямоугольных импульсов?

5.    Чем отличается спектр одиночного импульса от спектра периодической последовательности импульсов?

6.    Запишите прямое и обратное преобразование Фурье.

7.    Как найти эффективную длительность и эффективную ширину спектра прямоугольного сигнала?

8.    Что представляет собой спектр сигнала в виде дельта-функции?

9.    Дайте определение автокорреляционной функции детерминированного сигнала.

10.          Что такое взаимная корреляционная функция двух сигналов?

11.          Как найти коэффициент взаимной корреляции?

12.          Какими свойствами обладает автокорреляционная функция периодического сигнала?

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты