Операторный метод

April 4, 2012 by admin Комментировать »

Литература: [Л.1], с 217-221

         является обобщением спектрального метода. В основе метода лежит преобразование Лапласа. Рассмотрим некоторый сигнал , определённый на интервале времени (0,). Умножим этот сигнал на  и полученный новый сигнал  подвергнем преобразованию Фурье

.

Обозначая через , получим

    .                             (5.28)

Выражение (5.28) называется односторонним преобразованием Лапласа функции . При этом,  называют оригиналом, а изображением.

Нетрудно убедиться, что при  выражение (5.28) преобразуется к виду

,

что соответствует преобразованию Фурье. Таким образом если преобразование Фурье представляет собой спектральное разложение сигнала  по гармоническим составляющим , то преобразование Лапласа – разложение сигнала  по экспоненциально – косинусным составляющим . Действительно, представим

.

Здесь использована формула Эйлера

.

С другой стороны

,

где       .

Тогда окончательно           

представляет собой экспоненциально – косинусную функцию.

Переход от изображения  к оригиналу  осущест-вляется при помощи обратного преобразования Лапласа

. (5.29)

Для значительной части функций широко используемых при описании оригиналов были рассчитаны изображения по Лапласу. Некоторая часть оригиналов и изображений приведена в таблице 5.1.

Поскольку преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье, то оно обладает теми же свойствами, что и преобразование Фурье. Остановимся на некоторых из них, которые будем использовать в дальнейшем. Пару преобразований (прямое и обратное) будем обозначать следующим образом

                                                .

1. Линейность преобразований Лапласа

                (5.30)

2. Свойство временного сдвига

                              (5.31)

3. Операция дифференцирования

;                         (5.32)

4. Операция интегрирования

.                                     (5.33)

Применим к обеим частям уравнения (5.16) прямое преобразования Лапласа. Тогда с учётом (5.32), получим

    (5.34)

откуда следует

 .                  (5.35)

Это отношение называется передаточной функцией цепи или её операторным коэффициентом. Таким образом, передаточная функция является оператором преобразования линейной цепью в базисе экспоненциально – косинусных сигналов.

Сравним выражение комплексного коэффициента передачи (5.18) с выражением (5.35). Из этого сравнения следует, что комплексный коэффициент передачи  является частным случаем  при , т.е.

                                                         (5.36)

Таким образом, если известна передаточная функция  цепи, то операторный метод поиска отклика цепи состоит в следующем:

– находится изображение по Лапласу входного сигнала

;                                        (5.37)

– находится изображение выходного сигнала как произведение

;                                (5.38)

– определяется оригинал выходного сигнала

.                                      (5.39)

Установим связь между временными характеристиками и передаточной функцией. Произведя в (5.12) замену  на , получим

.

         Таким образом, передаточная функция и импульсная характеристика связаны между собой преобразованием Лапласа

.

Что касается переходной характеристики, то применяя к (5.8) преобразование Лапласа и учитывая (5.33), получим

.

В заключение отметим, что операторный метод позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения вида (5.16) к алгебраическим уравнениям (5.34), что позволяет в ряде случаев упростить анализ цепей. Помимо этого, учитывая широкое распространение таблиц преобразований Лапласа для большого числа функций, можно исключить громоздкие вычисления, непосредственно обращаясь к этим таблицам.

Рассмотрим применение операторного метода на примере анализа определения отклика RC-цепи на входной сигнал вида . Эта задача была решена классическими временными методами. Спектральным методом был найден комплексным коэффициент передачи. Заменив в выражении для  цепи  на , получим передаточную функцию цепи

.

Следуя операторному методу найдём изображение по Лапласу входного сигнала, воспользовавшись при этом таблицей 5.1

.

Далее, в соответствии с (5.38), определим изображение выходного сигнала

.

И наконец, по таблице 5.1 (позиция 5) находим оригинал

,

что совпадает с полученными ранее результатами.

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты