Литература: [Л.1], с 217-221
является обобщением спектрального метода. В основе метода лежит преобразование Лапласа. Рассмотрим некоторый сигнал , определённый на интервале времени (0,
). Умножим этот сигнал на
и полученный новый сигнал
подвергнем преобразованию Фурье
.
Обозначая через , получим
. (5.28)
Выражение (5.28) называется односторонним преобразованием Лапласа функции . При этом,
называют оригиналом, а
изображением.
Нетрудно убедиться, что при выражение (5.28) преобразуется к виду
,
что соответствует преобразованию Фурье. Таким образом если преобразование Фурье представляет собой спектральное разложение сигнала по гармоническим составляющим
, то преобразование Лапласа – разложение сигнала
по экспоненциально – косинусным составляющим
. Действительно, представим
.
Здесь использована формула Эйлера
.
С другой стороны
,
где .
Тогда окончательно
представляет собой экспоненциально – косинусную функцию.
Переход от изображения
к оригиналу
осущест-вляется при помощи обратного преобразования Лапласа
. (5.29)
Для значительной части функций широко используемых при описании оригиналов были рассчитаны изображения по Лапласу. Некоторая часть оригиналов и изображений приведена в таблице 5.1.
Поскольку преобразование Лапласа является обобщением преобразования Фурье, то оно обладает теми же свойствами, что и преобразование Фурье. Остановимся на некоторых из них, которые будем использовать в дальнейшем. Пару преобразований (прямое и обратное) будем обозначать следующим образом
.
1. Линейность преобразований Лапласа
(5.30)
2. Свойство временного сдвига
(5.31)
3. Операция дифференцирования
;
(5.32)
4. Операция интегрирования
. (5.33)
Применим к обеим частям уравнения (5.16) прямое преобразования Лапласа. Тогда с учётом (5.32), получим
(5.34)
откуда следует
. (5.35)
Это отношение называется передаточной функцией цепи или её операторным коэффициентом. Таким образом, передаточная функция является оператором преобразования линейной цепью в базисе экспоненциально – косинусных сигналов.
Сравним выражение комплексного коэффициента передачи (5.18) с выражением (5.35). Из этого сравнения следует, что комплексный коэффициент передачи
является частным случаем
при
, т.е.
(5.36)
Таким образом, если известна передаточная функция цепи, то операторный метод поиска отклика цепи состоит в следующем:
– находится изображение по Лапласу входного сигнала
; (5.37)
– находится изображение выходного сигнала как произведение
; (5.38)
– определяется оригинал выходного сигнала
. (5.39)
Установим связь между временными характеристиками и передаточной функцией. Произведя в (5.12) замену на
, получим
.
Таким образом, передаточная функция и импульсная характеристика связаны между собой преобразованием Лапласа
.
Что касается переходной характеристики, то применяя к (5.8) преобразование Лапласа и учитывая (5.33), получим
.
В заключение отметим, что операторный метод позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения вида (5.16) к алгебраическим уравнениям (5.34), что позволяет в ряде случаев упростить анализ цепей. Помимо этого, учитывая широкое распространение таблиц преобразований Лапласа для большого числа функций, можно исключить громоздкие вычисления, непосредственно обращаясь к этим таблицам.
Рассмотрим применение операторного метода на примере анализа определения отклика RC-цепи на входной сигнал вида . Эта задача была решена классическими временными методами. Спектральным методом был найден комплексным коэффициент передачи. Заменив в выражении для
цепи
на
, получим передаточную функцию цепи
.
Следуя операторному методу найдём изображение по Лапласу входного сигнала, воспользовавшись при этом таблицей 5.1
.
Далее, в соответствии с (5.38), определим изображение выходного сигнала
.
И наконец, по таблице 5.1 (позиция 5) находим оригинал
,
что совпадает с полученными ранее результатами.
Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.
- Предыдущая запись: ПРОБНИК ЭЛЕКТРОМОНТАЖНИКА
- Следующая запись: ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОХОЖДЕНИЯ СЛОЖНЫХ СИГНАЛОВ ЧЕРЕЗ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛИНИИ ПЕРЕДАЧИ НА МАГНИТОСТАТИЧЕСКИХ ВОЛНАХ
- ПРЕДУСИЛИТЕЛЬ АУДИОСИГНАЛОВ C АРУ (2)
- СИНХРОНИЗАТОР C ЗАДАНИЕМ ВРЕМЕННЫХ ИНТЕРВАЛОВ (0)
- ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ СИГНАЛА WWV (0)
- ПОНИЖАЮЩИЙ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ, 5 В, 5 A (0)
- ГЕНЕРАТОР TOKA (0)
- ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЬ ПОСТОЯННОГО НАПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПЕРСОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ РАДИОСВЯЗИ (0)
- БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩИЙ АМПЛИТУДНЫЙ ДЕТЕКТОР CO СХЕМОЙ ПАМЯТИ И ПЕРЕУСТАНОВКОЙ (0)