Пассивные частотно-избирательные цепи

April 14, 2012 by admin Комментировать »

К пассивным частотно-избирательным цепям относятся колебательные контуры. Простейший колебательный контур содержит резистор R, индуктивность L и емкость C. Если в контуре элементы R, L и C соединены последовательно, то такой контур называется последовательным, а если соединены параллельно – параллельным колебательным контуром.

С

 

 

 

 

Рис.5.6

 

 

 

 

 

Один из вариантов последовательного колебательного контура изображен на рис. 5.6. Так же,
как и предыдущие цепи, рассматриваемый контур можно представить как делитель  напряжения.  Тогда

 комплексный коэффициент передачи контура

,

или с учетом того, что ,  и :

.                         (5.42)

Из этого выражения следует, что комплексный коэффициент передачи имеет максимум при

,                                          (5.43)

т.е. последовательный колебательный контур из совокупности сигналов разных частот выделяет один, который имеет частоту . Это явление, как известно, называется резонансом, а частота  – резонансной частотой.

Резонансная частота определяется из условия (5.43):

   или   .                         (5.44)

Рассмотрим основные характеристики последовательного колебательного контура.

Характеристическим сопротивлением называется значение сопротивления одного из реактивных элементов (индуктивности или емкости) при резонансной частоте

 .                                   (5.45)

Добротностью контура называется отношение характеристического сопротивления к резистивному

.                                     (5.46)

Поясним физический смысл добротности. Из (5.42) при  имеем

      .

Тогда с учетом (5.46) можно записать

.                                           (5.47)

Таким образом, добротность показывает во сколько раз напряжение на индуктивности или емкости (выходной сигнал) больше, чем приложенное входное напряжение. Затуханием контура называется безразмерная величина, обратная добротности

.

Постоянная времени контура

,                                     (5.48)     

характеризует инерционность контура. Очевидно, чем больше  (чем больше ), тем медленнее протекают переходные процессы в контуре.

Возвратимся к (5.42) и представим это выражение с учетом (5.44) в виде

.

Обозначая

,

после несложных преобразований получим

.

Рассмотрим поведение комплексного коэффициента передачи в окрестности резонансной частоты, т.е. при . Тогда величина :

,                   (5.49)

где  – абсолютная расстройка, представляет собой так называемую удвоенную относительную расстройку. С учетом этого выражение для комплексного коэффициента передачи можно представить как функцию удвоенной относительной расстройки в следующем виде

.                    (5.50)

Амплитудно-частотная характеристика

,                   (5.51)

а фазо-частотная характеристика

.                           (5.52)

На рис. 5.7 изображены графики АЧХ и ФЧХ рассматриваемого колебательного контура в окрестности резонансной частоты.

 

 

                                                                                 

 

б)

 

Рис. 5.7

 

                                                                                  

Полосой пропускания контура называется диапазон частот, в пределах которого . Очевидно, равенство в этом выражении соответствует граничным частотам  и  полосы пропускания. Эти частоты находятся в результате решения уравнения

.                                  (5.53)

Решение этого уравнения дает

,     ,

или с учетом (5.49)

,     .

Тогда полоса пропускания контура определяется по формуле

.                                (5.54)

В заключение составим дифференциальное уравнение последовательного колебательного контура. Напряжение, приложенное к контуру:

,                     (5.55)

где  – напряжение на резисторе,  – напряжение на индуктивности,  – напряжение на конденсаторе. Но напряжение на конденсаторе является выходным сигналом . С другой стороны напряжение на резисторе , а напряжение на индуктивности  . Ток, протекающий через контур, можно выразить через напряжение на конденсаторе

.

Тогда напряжение на индуктивности

,

и на резисторе

.

Подстановка этих выражений в (5.55) дает соотношение

.

Разделим обе части этого уравнения на . Тогда уравнение принимает вид

,           (5.56)

где  – коэффициент затухания.

Применив к обеим частям уравнения (5.56) преобразование Лапласа, можно получить выражение для передаточной функции

.                               (5.57)

Нетрудно заметить, что замена в (5.57)  на  приводит к выражению (5.42).

Параллельный колебательный контур представляет собой параллельное соединение ,  и  элементов (рис. 5.8). Входным сигналом такого контура является ток , а выходным – напряжение  на элементах контура. Согласно закону Ома комплексное значение напряжения на элементах контура

 .

 

 

 

 

 

Откуда следует, что комплексный коэффициент передачи контура

Рис.5.8

 

 

 

 

,

совпадает с комплексным сопротивлением .

В свою очередь комплексное сопротивление  есть величина, обратная комплексной проводимости. При параллельном соединении ,  и  комплексная проводимость равна

,                                (5.58)

или

.                               (5.59)

Проводя суммирование дробей, и вычисляя обратное значение суммы, получим

.                      (5.60)

Как и в последовательном контуре, резонанс в параллельном колебательном контуре, как это следует из (5.60), имеет место при условии    .

Характеристическое сопротивление контура описывается выражением (5.45). Что касается добротности , то в отличие от (5.46) для параллельного контура она определяется выражением

.                                             (5.61)

Отсюда постоянная времени контура

.                                      (5.62)

Вводя параметр  и проводя аналогичные рассуждения, как и в случае последовательного контура, после несложных преобразований получим выражение для  в окрестности резонансной частоты:

.                                       (5.63)

Очевидно, амплитудно-частотная характеристика

,                                      (5.64)

носит такой же характер, как и для последовательного контура (5.51). Поэтому график АЧХ параллельного контура совпадает по форме с кривой рис. 5.7а. Фазо-частотная характеристика имеет вид

.                                   (5.65)

 

 

 

На рис. 5.9 приведен график ФЧХ параллельного контура. Полоса пропускания и граничные частоты  и  определяются аналогично этим же параметрами последовательного контура. При составлении дифференциального уравнения следует учесть, что входной сигнал – ток

,   (5.66)
                                                           где ; ;  – токи, протекающие через соответствующие элементы,  – напряжение на контуре, являющееся выходным сигналом  .

                                                       

 

Рис.5.9

 

 

 

 

 

 

 

Подстановка этих выражений в (5.65) дает

.

Дифференцирование левой и правой частей приводит к результату

              ,               (5.67)

где    – коэффициент затухания.

Передаточная функция параллельного контура описывается выражением

.                                    (5.68)

 

 

 

 

 

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты