Теорема Винера–Хинчина

April 30, 2012 by admin Комментировать »

Литература: [Л.1], стр. 165-169

[Л.2], стр. 434-436

[Л.3], стр. 102-104

Энергетический спектр и автокорреляционная функция случайного процесса являются неслучайными функциями, связанными между собой. Установим эту связь. Рассмотрим реализацию  случайного процесса длительностью  и ее копию , сдвинутую на интервал времени . Известно, что энергетический спектр и автокорреляционная функция детерминированного сигнала связаны между собой парой преобразований Фурье. Тогда с учетом выше приведенного предположения о том, что реализация  и ее копия  нам известны, можно записать

.

Разделим обе части этого равенства на

,          (5.62)

и устремим .

Тогда в соответствии с (5.51) левая часть равенства (5.62) представляет собой автокорреляционную функцию . Учитывая (5.59) равенство (5.62) можно представить следующим образом

.                       (5.63)

Но это есть обратное преобразование Фурье, связывающее АКФ случайного процесса с его энергетическим спектром. Очевидно, если существует обратное преобразование, значит, существует и прямое преобразование Фурье

,                         (5.64)

связывающее энергетический спектр с АКФ.

Таким образом, АКФ случайного процесса и его энергетический спектр связаны между собой парой преобразований Фурье. Впервые эта связь была установлена советским математиком А. Хинчиным и независимо от него американским ученым Н. Винером. Поэтому соотношения (5.63) и (5.64) носят название теоремы Винера–Хинчина.

Так как автокорреляционная функция  и энергетический спектр  являются вещественными четными функциями, можно отказаться от комплексной формы записи преобразования Фурье и перейти к другой форме

,                      (5.65)

.                      (5.66)

Из этих выражений следует

,                             (5.67)

.                               (5.68)

Но , откуда

,

что совпадает с (5.60).

В случае, когда энергетический спектр описывается функцией циклической частоты (5.61), выражения (5.65) – (5.68) приобретают вид

,                     (5.69)

.                     (5.70)

,                             (5.71)

.                              (5.72)

Источник: Медиченко М.П., Литвинов В.П. Радиотехнические цепи и сигналы: Учебное пособие. – М.: Изд-во МГОУ, 2011.

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты