ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ В СКАНИРУЮЩЕЙ БЛИЖНЕПОЛЬНОЙ ТОМОГРАФИИ

January 30, 2013 by admin Комментировать »

Гайкович К. П. Институт физики микроструктур РАН г. Нижний Новгород, ГСП-105, 603950, Россия Тел.: (8312)385037; факс: (8312)385553; e-mail: gai@ipm.sci-nnov.ru

Аннотация – Предложен новый метод томографии неоднородного полупространства, который может быть реализован в сканирующей зондовой микроскопии и в других способах электромагнитной диагностики сред.

I.                                       Введение

в работе рассматривается новый метод диагностики трёхмерных неоднородностей диэлектрической проницаемости среды – метод сканирующей томографии. В отличие от известных методов томографии [1,2], где имеется возможность приёма излучения с разных сторон, в этом методе используются измерения вариаций электромагнитного излучения, принимаемого над средой, которая содержит область неоднородностей (над полупространством ζ < 0), при возбуждении в этой среде плоской волны. Впервые такой подход был развит в [3] для случая СВЧ радиометрических и импедансных измерений.

Измерения полей или интенсивности осуществляются методом двумерного сканирования над поверхностью при различных значениях некоторого параметра (например, частоты), от которого зависит эффективная толщина слоя среды, в котором формируется принимаемое излучение. Обратная задача рассеяния в такой постановке приводит к трёхмерному интегральному уравнению, для решения которого в борновском приближении, когда это уравнение представляет собой свёртку по поперечным координатам, удалось создать эффективный алгоритм.

В алгоритме используется тот факт, что двумерное Фурье-преобразование уравнения исходного уравнения по поперечным координатам приводит к одномерному интегральному уравнению Фредгольма 1-го рода относительно глубинных распределений компонент поперечного спектра. Обратное преобразование Фурье решения этого уравнения завершает решение задачи томографии.

II.                              Основная часть

Рассмотрим область неоднородной среды с комплексной диэлектрической проницаемостью

расположенную в полупространстве Ζ < О, где за пределами неоднородной области ε = ε^(ω). Для полей ехр (/®f) невозмущенное электрическое поле ЕДг) определяется тензором Грина (с учетом ближнепольных компонент):

где fir)- распределение тока в источнике. Для удалённого источника невозмущённое поле может быть представлено плоской волной (как распространяющейся, так и замедленной). При наличии неоднородной области поле Е(г) определяется как

I

где резольвента R определяется распределением неоднородностей еДг) и функцией Грина невозмущённой задачи (рядом Неймана). Уравнения (1),(2) решают прямую задачу электродинамики, однако, если рассматривать соотношение (2) как исходное уравнение для решения обратной задачи, то это будет нелинейное интегральное уравнение, ядро которого является функцией шести измерений. Численное решение такой задачи представляется весьма трудной задачей с вычислительной точки зрения.

По этой причине решение обратной задачи рассеяния рассматривается в борновском приближении

, и рассеянная компонента поля определяется из соотношения

Если ввести в (3) эквивалентный источник это соотношение приводится к виду

свёртки

Двумерное преобразование Фурье по поперечным координатам приводит (4) к одномерному интегральному уравнению относительно глубинного профиля поперечного спектра эквивалентного источника

В случае, когда невозмущённое поле в среде представляет собой плоскую волну

ЕДг) = ехр(гкг), преобразование Фурье уравнения (3) приводит к уравнению для глубинного профиля поперечного спектра неоднородностей диэлектрической проницаемости:

гдеЕсли в среде возбуждается замедленная волна, т. е. =к^    экспонен

та в (6) становится затухающей и эти волновые числа могут использоваться в качестве параметра, от которого зависит глубина формирования измеряемых вариаций поля. Аналогичные соотношения для магнитного поля можно легко получить из соответствующего уравнения Максвелла.

В случае измерения двумерных распределений вариаций поля над поверхностью среды, где неоднородности диэлектрической проницаемости чисто действительные или чисто мнимые (si = £1’или si = – /siуравнения (5), (6) могут решаться как уравнения Фредгольма 1-го рода методом обобщённой невязки Тихонова [1] аналогично [3]. Единственные параметр метода – интегральная погрешность спектра измеренных вариаций – определяется из теоремы План- шереля по известной оценке интегральной ошибки измерений.

В случае измерений вариаций интенсивности излучения над поверхностью среды, например, методами сканирующей ближнепольной оптической микроскопии (СБОМ) [2], когда сигнал (плоская волна) проходит через неоднородную среду или отражается от неё, измеренный сигнал может быть представлен как свёртка аппаратной функции зонда и интенсивности поля в зависимости от положения зонда как

ПопеLO/L·

речный спектр сигнала в случае слабого рассеяния можно тогда представить соотношением

Если ЕДг) = ехр(гкг), то имеем интегральное уравнение вида:

которое для случаев si = £1’или ε = -/si" сводится к уравнению Фредгольма 1-го рода. Обратное преобразование Фурье решения этого уравнения, как и выше, реализует метод сканирующей томографии.

III.                                  Заключение

Результаты показывают принципиальную осуществимость метода сканирующей ближнепольной томографии и перспективность применения метода при решении задач физической диагностики.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 04-02-16120) и программам ОФН РАН «Проблемы радиофизики» и «Радиоэлектронные методы в исследовании природных сред и человека».

IV.                           Список литературы

[1] Тихонов А. Н., Арсенин В. Я, Тимонов А. А. Математические задачи компьютерной томографии.- М.: Наука,

1987.- 158 с.

[2] Gaikovich К. Р. Inverse Problems in Physical Diagnostics. – N. Y.: Nova Science, 2004. – 372 p.

[3] Gail<ovich K. P. Ближнепольная СВЧ томография. – В кн.: 15-я Междунар. Крымская конф. «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии» (КрыМиКо’2005). Материалы конф. [Севастополь, 12-16 сент. 2005 г.]. – Севастополь: Вебер, 2005, с. 865-866.

INVERSE PROBLEM OF SCATTERING IN SCANNING NEAR-FIELD TOMOGRAPHY

Gaikovich K. P.

Institute for Physics of Microstructures RAS GSP-105, Nizhny Novgorod, 603950, Russia Ph.: (8312) 385037, fax: (8312) 385553 e-mail: gai@ipm.sci-nnov.ru

Abstract – A new tomography method of the inhomogeneous half-space is proposed that can be realized in the scanning probe microscopy and other kinds of electromagnetic diagnostics of media.

I.                                         Introduction

In this method the 2D scanning of variations ofthe signal (plane wave) related to inhomogeneities in a medium (half-space z < 0) are in use. The scanning should be done at various values of a parameter (frequency or sounding wave direction) that determines the effective depth ofthe formation ofthe received signal.

II.                                        Main part

If a scattering region is embedded in the half-space z < 0, the reference electric field is determined from (1) and the field for this medium with inhomogeneities – from (2). The kernel of the equation (2) is a 6D function, so it is difficult to use this equation to solve the inverse problem. Because of this reason, in problems where scattered fields are in use, the possible consideration can be based on the Born approximation (3). If to rewrite (3) as the integral of the equivalent current source j, one obtains the convolution equation (4).

The 2D Fourier transform ofthe equation (4) over lateral coordinates leads to the one-dimensional integral equation (5). In the case when the reference field in a medium is a plane wave, using the known property of the Fourier transform of a product with an exponent, one has from (3) the spectrum of the scattered field (6). At £-1 = ε-i’or ε = -Ιε-ι", equations (5) and (6) are integral Fredholm equations ofthe 1®* kind that can be solved using Tikhonov’s method of generalized discrepancy [1], where the parameter of the integral error of field spectral components is determined from the Plansherel’s theorem by known measurements errors. The inverse Fourier transform of this solution gives the solution ofthe scanning tomography problem.

If the sounding plane wave field in (6) is an evanescent wave, wave vector components of the sounding field can be also used as the parameter that determines the effective depth ofthe formation ofthe received signal at the solution.

In the case when the intensity ofthe signal is measured, for example, in the scanning near-field optical microscopy (SNOM) in the collection mode, when the signal (a plane wave) is transmitted through a medium or scattered from it. The received signal is the convolution of the probe apparatus function F and the signal electric field intensity. The lateral spectrum of signal variations (8) can be reduced to the Fredholm integral equation ofthe 1®’ kind if s = s’or s = -is" and the 2D inverse Fourier transform of this equation solution gives the desired solution of the scanning tomography problem.

III.                                       Conclusion

Results show the feasibility of this method of scanning tomography method in the solution of some problems of the physical diagnostics.

Источник: Материалы Международной Крымской конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии», 2006г. 

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты