ПОВЫШЕНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОВОЛОЧНЫХ АНТЕНН С ФРАКТАЛЬНОЙ СТРУКТУРОЙ

January 26, 2013 by admin Комментировать »

Аннотация – В работе рассмотрено применение вейвлетов для повышения эффективности решения интегральных уравнений, описывающих задачу излучения. На примерах расчетов проволочных антенн с фрактальной структурой показана целесообразность применения таких базисных функций. Проведена оценка точности полученных результатов.

I.                                       Введение

Задача излучения электромагнитных волн может быть сведена к интегральному уравнению вида:

Романенко С. Н., Карпуков Л. М., Пулов Р. Д. Запорожский национальный технический университет ул. Жуковского, 64, Запорожье, 69063, Украина Тел.: 8 (0612) 643281, e-mail: sergeyr@pisem.net

где g (х) – известная функция, f (х) – неизвестная функция, К(х,х’) – известное ядро интегрального уравнения, чаще всего это функция Грина.

Для решения уравнений типа (1) широко используется метод моментов (ММ), который сводит интегральное уравнение к системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Однако с ростом размерности СЛАУ время решения резко возрастает и становится недопустимо большим.

В последнее время для повышения эффективности решения интегральных уравнений вида (1) большое внимание уделяется вопросу применения вейвлетов и вейвлетных базисных функций. Их использование позволяет получить разреженную матрицу СЛАУ, которая может быть решена за О (N logN) операций, где N – размерность СЛАУ, что является большим преимуществом по сравнению с О (N^) для плотно заполненной матрицы или О (N^) при решении итерационными методами.

В данной работе представлено сравнение эффективности решения задачи излучения обычным методом и методом на основе вейвлет-преобразо- вания. Даны рекомендации по целесообразности применения вейвлетов для решения рассматриваемых электродинамических задач.

II.                           Постановка задачи

При решении задачи излучения используется сеточная модель металлической излучающей поверхности антенны. Расчет электрических токов в проволочных сегментах модели осуществляется на основе интегрального уравнения Поклингтона для тонких проводников. Для диполя длиной L это уравнение имеет вид [1]:

где G (ζ, ζ’) – функция Грина для свободного пространства, E‘z – падающее или наведенное поле, ζ – точка наблюдения, ζ’ – точка источника.

В соответствии с ММ, дискретизация (2), при использовании импульсного базиса для I (ζ) и сшивания по точкам, приводит к СЛАУ:

Ζ·Ι = ν                                                                (3)

где Ζ – заполненная несимметричная матрица, которую называют матрицей импедансов. Элемент Zi_j по физическому смыслу является продольной компонентой электрического поля, наведенного в центре сегмента i током единичной амплитуды сегмента].

Эффективность решения (2) определяется, главным образом, скоростью решения матричного уравнения (3), поскольку его вычислительная стоимость составляет О (N^) операций для точных методов, в то время как стоимость всех остальных вычислительных процедур, включая вычисление элементов Zi_ j, не превышает О (N^). Следовательно, при большой размерности N матрицы Z необходимо использовать итерационные процедуры.

III.        Вейвлет-преобразование матрицы

При вейвлет-преобразовании необходимо получить набор N ортонормированных векторов, которые составляют базис для Ν-мерного векторного пространства R^. Эти векторы должны обладать двумя важными свойствами. Во-первых, они должны иметь различную локализацию в пространстве, обеспечивая кратномасштабное представление полей и токов в сегментах. Во-вторых, почти все базисные векторы должны иметь определенное количество р нулевых моментов. Наличие р нулевых моментов означает, что для базисного вектора В выполняется соотношение:

В данной работе для построения матрицы вейв- лет-преобразования W использованы хорошо известные вейвлеты Добеши [2] с р=8 нулевыми моментами. Для вычисления этой матрицы была использована программа, приведенная в [3].

Пример вейвлетного базиса при N=512 и р=8 приведен на рис. 1.

Рис. 1. Вейвлетные базисные векторы.

Fig. 1. Wavelet reference vectors

Вейвлентые базисные векторы могут быть построены для разных значений Мир. Дпя удобства обычно используется N=2", а значение р выбирается из диапазона от 8 до 12 [4].

При вейвлет-преобразовании системы (3) левая и правая части умножается на матрицу вейвлет- преобразования W

W-Z-I = W-V                                                                      (5)

Поскольку векторы, составляющие матрицу W, являются ортонормированным базисом для R^, то для W выполняется соотношение W’=W^. Тогда уравнение (5) можно записать следующим образом:

W-Z-W^-W-I = W-V                                                       (6)

В результате приходим к СЛАУ:

Zw-Iw=Vw                                           (7)

где Zw=W-Z-W^, Iw=W-I, Vw=W-V.

В работе [4] показано, что новая матрица Z^ оказывается достаточно разреженной. Кроме того, многие элементы этой матрицы, если они меньше некоторого порогового значения τ, можно считать пренебрежимо малыми и их можно отбросить. Все это позволяет выполнять матричные перемножения за время, пропорциональное количеству ненулевых элементов и, таким образом, ускорить расчет без потери точности. В данной работе порог τ определялся следующим образом:

I

где

^ J—^

Численные эксперименты показали, что если взять То равным 0.1, то ошибка не превысит 1 %. Аналогичные результаты получены в [5].

IV.                                 Результаты

Описанный метод вейвлет-преобразования был реализован в системе моделирования проволочных антенн для повышения эффективности решения интегрального уравнения (2) при анализе сложных структур большой размерности, возникающих при моделировании фракталоподобных антенн. Исследовались фрактальные структуры, построенные на основе кривой фон Кох. В таблице 1 приведено время вычислений в секундах и относительная ошибка при решении СЛАУ двумя методами: методом LU-разложения (LU), и методом вейвлет-преобразования (WT).

Таблица 1. Время вычислений и ошибка Table 1. Computation time and error

N

WT, с

LU, с

Ошибка, %

128

1

1

0.56

256

6

9

0.8

512

32

76

0.17

1024

149

599

0.85

Как видно, применение вейвлет-преобразования уменьшает время вычислений, если размерность системы N, составленной из комплексных чисел, больше 128.

V.                                   Заключение

в работе рассмотрен метод вейвлет-преобразо- вания матрицы СЛАУ, полученной в результате ал- гебраизации интегрального уравнения (2). Приведены данные о времени расчета в зависимости от размерности задачи, а также получаемые при этом погрешности вычислений. Показано, что метод целесообразно использовать при размерности СЛАУ выше 128. Предлагаемая методика реализована в системе моделирования проволочных антенн и уменьшает вычислительные затраты без заметного снижения точности.

VI.                           Список литературы

[1]  L. Tsai, «А numerical solution for the near and far fields of an annular ring of magnetic current,» IEEE Trans. Antennas Propagat., vol. AP-20, pp. 569-576, May, 1972.

[2]  /. Daubechies, «Ten Lectures on Wavelets» (CBMS-NSF series in Applied Maths #61), Philadelphia, SIAM, 1992.

[3]  \N. H. Press, S. A. Teul<oisl<y, W. T. Vetterling,

B.        P. Fiannery, «Numerical Recipes in FORTRAN: The Art of Scientific Computing, Second Edition,» New York, Cambridge Univ. Press, 1992.

[4]  R. L. Wagner, \N. C. Chew, «А Study of Wavelets for the Solution of Electromagnetic Integral Equations,» iEEE Trans. AP., 1995, vol. 43, N.8, pp. 802-810.

[5]  B. Aipert, G. Beyilfin, R. Coifman, V. Rol<hiin, «Wavelet-like bases for the fast solution of second-kind integral equations,» SiAMJ. Sci. Comput., vol. 14, no. 1, pp.159-184,

Jan. 1993.

INCREASING OF WIRE ANTENNAS SIMULATION EFFICIENCY

Romanenko S. N., Karpukov L. М., Pulov R. D.

Zaporozhye National Technical University

Zhukovsky str, 64, Zaporozhye, 69063, Ukraine

Ph.: 8 (0612) 643281, e-mail: sergeyr@pisem.net

Abstract – Considered in this paper is wavelets application in order to increase the efficiency of integral equations solution. Wire antennas with fractal structure have been calculated and the expediency of application of such basis functions is shown. The accuracy of the results obtained is estimated.

I.                                          Introduction

A great number of electromagnetic problems can be posed in the form of integral equation:

The most widely used technique for solving of (1) is MoM that allows finding an approximate solution for the system of linear equations. The use of wavelets produces a sparse matrix which may be solved rapidly. The solution of linear system can be obtained in О (N logN) operations.

II.                     Wavelet Transformation Matrix

In order to generate wavelet transformation matrix W the well-known Daubechies wavelets [3] with p=8 vanishing moments are used. We used the PC software described in [4].

III.                                        Results

Table I presents the computation time in seconds and relative errors appeared during calculations using two methods: LU- decomposition (LU) and wavelet transformation (WT).

IV.                                       Conclusion

It is shown, that the method of wavelet transformation is expedient for using at linear system dimension above 128 with complex elements. This technique is realized in CAD system for wire antennas simulation. It reduces the computation time without sacrifice of accuracy.

Источник: Материалы Международной Крымской конференции «СВЧ-техника и телекоммуникационные технологии», 2006г. 

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты