Бегущие и стоячие волны

June 21, 2013 by admin Комментировать »

В течение длительного времени явления, связанные с бегущими волнами, были сферой интереса только инженеров, работавших в области телекоммуникаций и передачи электроэнергии на большие расстояния. Однако с развитием техники управления электродвигателями с использованием широтно-импульсной модуляции (ШИМ), а также с увеличением рабочих частот этой модуляции даже в цепях электродвигателей стали проявляться эффекты стоячих волн. Понимание явлений, связанных с бегущими волнами в передающих линиях, стало необходимым, например, для защиты электродвигателей, питание которых осуществляется через длинную кабельную линию и (или) на высокой частоте. Если говорить современными терминами, передающая линия — это набор нескольких параллельных или коаксиальных проводников конечной длины, будь то проводники на печатной плате или многомильная линия электропередачи.

Основы

Появление стоячих волн наблюдается в тех случаях, когда физическая протяженность передающей линии сопоставима с длиной электрической волны в ней. В свою очередь длина волны зависит от частоты ее возбуждения. Образуются стоячие волны вследствие интерференции между падающими на нагрузку и отраженными от нее волнами. Поведение волн в линии может быть определено решением системы дифференциальных уравнений, в которые входят параметры линии и частота ее возбуждения. Решение этих уравнений с учетом потерь весьма сложно и мало дает с практической точки зрения, поэтому мы ограничимся анализом линий без потерь.

Пусть в линии без потерь L — последовательная индуктивность на единицу длины, а С — параллельная емкость на единицу длины. Тогда индуктивность некоего отрезка линии будет Ldx, а напряжение на этом отрезке e = -Ldx(di/dt). Это же напряжение можно выразить в виде e = (de/dx)dx, и тогда можно записать (de/dx)dx = -Ldx(di/dt). Аналогично (di/dx)dx=-C(de/dt)dx. Разделив эти уравнения на dx и подставив частные производные, мы получим фундаментальные уравнения передающей линии:

—де/дх = L(8i/8t) и -di/8x = C(de/dt).

Дифференцируя их по x, а затем по t, мы получим отдельные дифференциальные эллиптические уравнения второго порядка для e и i как функции от t и x. Их классическая форма:

LCd2i/dt2 — 82i/8x2 = 0 и LCd2e/dtl — д2е/дх2 = 0.

Эти уравнения могут быть решены методом преобразования или классическим методом. Их решения получаются в форме гиперболических функций на комплексной плоскости и до развития компьютерной техники были единственным практическим средством анализа передающих линий. К счастью, компьютеры позволяют использовать числовые методы анализа, и при этом даже потери могут быть учтены сравнительно легко. С применением интеграции по Эйлеру процесс решения дифференциальных уравнений сейчас не так страшен, как раньше.

На Рис. 6.1 приведены разностные уравнения для отдельных участков передающей линии. Эти уравнения при решении их численными методами позволяют получить значения напряжений и токов в линии как функции расстояния и времени. Хотя сразу это и неочевидно, эти уравнения в пределе повторяют дифференциальные уравнения, которые мы рассмотрели выше.

Рис. 6.1. Разностные уравнения для отделъныхучастков передающей линии

Перед рассмотрением типичных решений дадим определения нескольким часто встречающимся параметрам передающих линий. Во-первых, это характеристическое сопротивление, определяемое как Z0 = (L/C)i/2, и, вовторых, скорость распространения v = l/(iC)172. Характеристическое сопротивление определяет связь между линией и присоединенной к ней нагрузкой, а скорость распространения определяет в конечном счете электрическую длину передающей линии. Электрическая длина линии, в терминах длины волны для данной частоты возбуждения линии, определяется соотношением Xf/Xe = v/c, где Хр — длина волны в линии, а Хе — длина волны, возбуждаемой на данной частоте в открытом пространстве, v — скорость распространения в линии и с — скорость света. Эти параметры изменяются в широком диапазоне для большого числа типов передающих линий и кабелей, используемых в электротехнике. Рассмотрим эти параметры для двух типов таких линий.

Воздушная линия электропередачи с расстоянием между проводами 6 футов:

Z0 = 325 Ом, v = 83%.

Экранированный коаксиальный кабель на 15 кВ, с центральным проводником площадью сечения 500 kcm:

Z0 = 21 Ом, v = 29%.

(Скорости распространения показаны в процентах от скорости света, равной 3108м/с.)

Воздушная линия электропередачи имеет высокое значение последовательной индуктивности и сравнительно низкое значение емкости, так что характеристическое сопротивление оказывается довольно большим. В этой линии скорость распространения сравнительно большая, что обусловлено малыми значениями емкостей. В кабельной линии все наоборот. Экранированный кабель имеет очень большую емкость, что делает его характеристическое сопротивление малым, как и скорость распространения. Отметим, что в кабельной линии длина волны составляет менее чем одну треть от длины волны на данной частоте в открытом пространстве.

Явления, связанные с переходными процессами

Проблемы, которые могут возникать в цепях электродвигателей из-за бегущих волн, могут быть проиллюстрированы результатами изучения отклика линии на бросок напряжения. На Рис. 6.2 показан предельный случай, когда импеданс генератора в передающей линии принят равным нулю, а нагрузка не подсоединена. Коэффициент отражения RC определяется выражением RC = (ZT Z0)/(ZX + Z0), где ZT — импеданс нагрузки, а Z0 — импеданс генератора. В отсутствие нагрузки RC = 1.

Когда бегущая волна достигает конца линии, возникает отраженная волна. Если коэффициент отражения RC имеет положительное значение, то отраженная волна складывается с падающей по амплитуде. Если коэффициент отражения отрицательный, то отраженная волна вычитается из падающей. В предельных случаях при разомкнутой цепи нагрузки напряжение на выходе линии удваивается, а при коротком замыкании становится равным нулю. При этом’в обоих случаях отраженная волна движется в направлении от конца линии к генератору, а падающая — от генератора к концу линии. Этот процесс показан на Рис. 6.2 при единичном значении скачка приложенного к линии напряжения. В каждой точке линии напряжение является суммой падающей и отраженной волн.

Рис. 6.2. Отражение в передающей линии при отсутствии нагрузки

На приемном конце линии напряжение будет изменяться в соответствии с последовательностью +2, +2, 0, 0, +2… до тех пор, пока напряжение приложено к передающему концу. Передающий конец линии будет отражать с переворотом полярности падающую на него волну, а приемный — отражать с той же полярностью. Хотя в этом примере мы рассматривали линию без потерь, с чистыми отражениями, в экранированных кабелях и других достаточно длинных линиях передачи процессы практически те же самые.

На Рис. 6.3 показано поведение импульсов напряжения единичной амплитуды при прохождении их через передающую линию при различной крутизне их фронтов. Отметим, что при продолжительности фронтов, в десять и более раз превышающей время распространения по линии (в данном примере 2 мкс), эффект возрастания амплитуды напряжения из-за сложения падающих и отраженных импульсов практически полностью исчезает. Подобная коррекция формы импульсов напряжения может быть выполнена с помощью фильтра нижних частот на передающем конце линии для защиты оборудования на приемном конце линии.

На Рис. 6.4 приведен график зависимости перенапряжения на приемном конце линии от относительной длительности фронтов импульсов.

Теоретически при периодических сигналах на передающем конце линии не существует ограничений на рост амплитуды напряжения на ее приемном конце. На практике потери в линии ограничивают это напряжение, но оно все равно может разогнаться до намного больших значений, чем при одиночном импульсе.

Способы уменьшения перенапряжения

Для уменьшения бросков напряжения на нагрузке следует уменьшать крутизну фронтов импульсов на передающем или приемном концах линии передачи. В принципе можно было бы согласовать импедансы линии и нагрузки, но на практике это редко возможно из-за отсутствия информации о высокочастотных характеристиках нагрузки. Обычно ограничиваются установкой на входе передающего конца линии фильтра нижних частот или дросселя. При использовании дросселя его индуктивность выбирают в 5 раз больше, чем индуктивность линии. Для исключения проблем, связанных с резонансными явлениями, при расчете фильтра нижних частот полезно провести компьютерное моделирование цепи и процессов в ней.

Рис. 6.3. Влияние длительности фронтов импульсов с выхода генератора на форму напряжения на приемном конце линии, состоящей из экранированного кабеля 500’ 2/0 15 кВ

Рис. 6.4. Зависимость перенапряжения на приемном конце линии от относительной длительности фронтов импульсов

Если выводы электродвигателя, используемого в качестве нагрузки, доступны, то полезно бывает зашунтировать их конденсатором, подавляющим броски напряжения. Однако для исключения резонансных явлений может потребоваться последовательно с конденсатором включить резистор, и опять пригодится компьютерное моделирование.

Источник: Сукер К. Силовая электроника. Руководство разработчика. — М.: Издательский дом «Додэка-ХХI, 2008. — 252 c.: ил. (Серия «Силовая электроника»).

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты