ИСКАНИЯ ЛУЧШИХ РЕШЕНИЙ

February 25, 2015 by admin Комментировать »

Из далекой древности до наших дней дошел класс своеобразных математических задач. Многие из них приписываются Герону, александрийскому ученому 1-го столетия нашей эры. Такими задачами занимались и в средние века. И в наши дни эти задачи разрабатываются математиками и изучаются в школах.

Вот одна из типичных:

Самый большой ящик

Дан квадратный лист жести. Из него надо сделать ящик, открытый сверху. Для этого в листе вырезаются по углам равные квадраты, а затем края листа загибаются так, чтобы образовать боковые стенки. Получившийся ящик может иметь разные пропорции, можно сделать низкие, а можно — и высокие боковые стенки.

Требуется построить такой ящик, чтобы объем его был наибольшим. Объем ящика — это произведение высоты его боковой стенки на площадь основания. Если вырезать по краям данного листа маленькие квадраты и, следовательно, оставить большую площадь основания, то высота боковой стенки будет мала, и ящик будет иметь малый объем (фиг. 7-1). Если ж!е, наоборот, сделать большую высоту ящика, то останется малая площадь основания и объем будет также мал. Существует некоторая определенная высота боковой стенки, которую можно назвать оптимальной высотой, наилучшей высотой (наилучшей для данной задачи). При э*гой оптимальной

Фиг. 7-/, Ящик из квадратного листа жести, в котором сделаны квадратные же выревы.

высоте ящик имеет наибольший объем. Эта высота равна одной шестой от стороны данного квадратного листа.

А вот другая задача в том же духе:

Гонец с корабля

На некотором расстоянии от берега стоит на якоре судно. Чтобы внести численную определенность в задачу» примем расстояние от корабля до ближайшей точки берега 9 км. На расстоянии 15 км от этой точки берега (также на берегу) находится лагерь. С корабля в лагерь посылается гонец. Пешком по суще этот гонец может

Фиг. 7-2. Путь гонца с корабля по воде и по берегу в лагерь.

делать по 6 км в час, а на веслах в шлюпке — по 4 км в час. Надо послать гонца по такому маршруту, чтобы он совершил свой путь в кратчайшее время. Требуется найти точку берега, куда должен пристать юнец (фиг. 7-2).

При данных соотношениях скоростей это место находится в трех километрах от лагеря.

Подобных задач, где требуется найти некоторое наивыгоднейшее оптимальное решение, существует множество.

Экстремальное значение функции

Можно иллюстрировать обе эти задачи—и с яишком и с гонцом — простыми графиками. По горизонтальной оси графика будем откладывать ту величину, которую можно изменять по произволу,— независимую переменную: то ли высоту боковой стенки ящика, то ли расстояние от лагеря до места причаливания гонца. По вер-

тикальной оси откладывают искомую ‘величину — функцию нашей независимой переменной — объем ящика или время странствования гонца. Получаются некоторые кривые. Одна из них имеет максимум (фиг. 7-3), другая имеет минимум. Точки максимума и минимума — это особые точки кривых, в них кривая совершает поворот:     от

Фаг. 7-3. Зависимость объема ящика от высоты его боковой стенки.

подъема она идет на спуск, или со спуска переходит на подъем. Математики называют эти точки экстремальными точками. И поэтому все задачи вышеприведенного типа называются задачами на максимум и минимум, или экстремальными задачами. Один из приемов решения таких задач — это отыскание экстремальных точек, особых точек на кривых.

7-     4. Инженерные примеры

В повседневной жизни постоянно возникают проблемы наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Экстремальные задачи имеют большое практическое значение.

Как построить ферму моста, чтобы она при наименьшем весе имела наибольшую прочность?

Как распределить металл в колонне, чтобы она была наиболее устойчивой?

Как проложить сеть дорог между несколькими населенными пунктами, чтобы эта сеть дорог обладала минимальной общей длиной?

Множество задач из области планирования производства относятся к типу задач на экстремум. Имеется, скажем, несколько станков разной производительности. Как распределить между этими станками работу, чтобы полу* чить наибольшее количество всей продукции?

В главе, посвященной центральным электростанциям, было рассказано о шаровой мельнице. Чем мельче угольная пыль, тем лучше она сгорает в топке, тем меньше пшерь с несгоревшим топливом. Но для получения более мелкой пыли надо затратить больше электроэнергии на вращение мельницы. Выходит, что невыгоден как слишком грубый, так и слишком мелкий помол (при нем возрастают еще расходы на износ мельниц и уменьшается их производительность). Существует оптимальный режим работы шаровых мельниц.

Можно утилизировать тепло, содержащееся в отходящих из котла дымовых газах, можно утилизировать тепло отработавшего пара из турбины. Но всюду есть свой оптимум, свой разумный предел. Иногда может оказаться, что приспособления для утилизации стоят дороже, чем возможная экономия энергии. Нельзя жечь сотенную бумажку, чтобы при свете ее пламени отыскивать затерявшийся гривенник.

Иногда задачи на оптимум решаются элементарными приемами, но часто представляют огромные математические трудности.

Исследования Чебышева

«Большая часть вопросов практики приводится к задачам наибольших и наименьших величин, совершенно новым для науки, и только решением этих задач мы можем удовлетворить требованиям практики, которая везде ищет самого лучшего, самого выгодного».

Так писал почти сто лет тому назад знаменитый математик академик Пафнутий Львович Чебышев. Множество своих научных работ он посвятил вопросу: «как располагать средствами своими для достижения по возможности большей выгоды?» Методы Чебышева стали образцом для последующих искателей оптимума.

Чебышев писал исследования «О зубчатых колесах», «О кройке платьев», «О построении географических карт». В последней работе он задается целью определить такую проекцию карты данной страны, для которой искажение масштаба было бы наименьшим. На численном примере карты Европейской России Чебышев показал, что наивыгоднейшая проекция будет давать искажения масштаба не более 2%, тогда как принятые в то время проекции давали искажения не менее 4—5%.

Источник: Электричество работает Г.И.Бабат 1950-600M

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты