Задача Дидоны

March 19, 2015 by admin Комментировать »

Изучение брахистохроны положило начало быстрому развитию вариационного исчисления, которое дало возможность находить различные кривые, удовлетворяющие требованию быть «самыми лучшими» для определенных условий. Но некоторые из задач о наилучших кривых были известны задолго до братьев Бернулли.

С древних времен дошла легенда о царице Дидоне, которая купила у финикийского царя Иорбаса столько земли, сколько может покрыть воловья шкура. Поведение Дидоны при покупке приводилось, как пример хитрости. Она разрезала шкуру на тонкие ремешки, связала их все вместе и обвела ими большой участок земли. Концы ремешков Дидона не замкнула, а оставила на берегу моря, чтобы и на море распространить свою власть.

Эта легенда служит основой для серии математических задач: какая кривая при заданной длине охватывает наибольшую площадь? И с древних же времен было известно (интуитивно, без строгих доказательств, которые были даны много позже), что из всех геометрических фигур с заданным периметром наибольшую площадь имеет круг. А если кривая не замкнута, а опирается на какие-то точки, то между этими точками должны быть проведены дуги круга (фиг. 7-26).

Задача Дидоны может быть усложнена допущением, что цена земли не всюду одинакова: чем ближе к берегу, тем дороже земля, а чем дальше от берега, тем стоимость земли меньше. И ремешком требуется охватить не наибольшую площадь, а наибольшей стоимости площадь. В зависимости от закона изменения стоимости получится та или иная’ кривая.

Вариационным методом можно исследовать и задачу о самом большом ящике из заданного листа жести. В разделах 7-1 и 7-13 этой главы мы ограничивали себя условием, что по углам листа жести вырезаются прямолйнейные четырехугольники. Но больший объем ящика получится, если вырезать из листа криволинейные фигуры. Очертания этих кривых надо отыскивать приемами вариационного исчисления.

Вариационные задачи в электротехнике

Задача Дидоны о кривой, охватывающей наибольшую площадь, может быть полезна при расчете некоторых случаев передачи энергии электромагнитной индукцией. В электротехнической версии эту задачу можно сформулировать так: требуется построить приемный виток, который охватывал бы наибольший магнитный поток. Заданными считаются длина проводника, из которого виток выполняется (периметр витка), и структура электромагнитного поля, в котором этот виток располагается.

Когда магнитное поле таково, что в пределах площади, охватываемой витком, сила поля меняется незначительно, то наибольший магнитный поток будет охвачен витком в форме круга. Но если магнитное поле неоднородно: в одних местах сильнее, а в других слабее, то наилучший виток будет иметь очертания сложной кривой.

На фиг. 7-27 показаны «наилучшие витки» вблизи прямолинейного, весьма протяженного проводника с током. В пространстве вокруг такого проводника магнитное поле изменяется по гиперболическому закону

— магнитная напряженность обратно пропорциональна расстоянию от проводника.

Другой пример применения вариационного метода — это вопрос о выборе наилучшей формы изолятора. В главе второй’ было сказано о том, что по всякому изолятору всегда происходит утечка тока. Эту утечку можно раз-

делить на две составляющие:         поверхност

Фиг. 7-27. Приемный контур (виток), получающий наибольшую мощность (при заданном периметре I) при расположении его вблизи прямолинейного проводника.

Когда периметр витка* меньше, нежели расстояние от центра витка до токонесущего проводника, то наивыгоднейшая форма витка близка к окружности.

Чем меньше расстояние от провода до приемного витка, тем более приплюснутую и вытянутую форму должен иметь виток, чтобы захватить наибольший магнитный поток. Плотность магнитного потока пропорциональна

ную и объемную. Ток объемной утечки идет через всю толщу изолятора. Поверхностная же утечка определяется очертанием поверхности изолятора. Большинство изоляторов — это тела вращения, и в них поверхностная утечка определяется формой образующей (профилем).

Важно подобрать такую форму поверхности изолятора, чтобы электрическое сопротивление поверхности было наибольшим и, следовательно, ток утечки по поверхности был бы наименьшим.

Бесчисленное количество кривых может быть использовано в качестве образующей поверхности изолятора. Вариационный анализ показывает, что сферическая поверхность изолятора имеет наименьшее поверхностное сопротивление, наибольшую поверхностную утечку. Всякая другая поверхность, отличная от сферической, будет иметь меньший ток утечки. Но наилучшей поверхности не существует.

В этой задаче вариационный анализ не дает наияучшего, но указывает на наихудшее, на то, чего конструктору следует избегать.

Источник: Электричество работает Г.И.Бабат 1950-600M

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты