О катании с ледяных гор

April 28, 2015 by admin Комментировать »

Есть класс задач, которые исследованиями на максимум и минимум не решить. Для них требуются более тонкие вычисления. Необходимые методы были найдены математиками задолго до возникновения промышленной электротехники.

В 1696 г. в выдающемся научном журнале той эпохи «Акта Эрудиторум» была помещена следующая задача (мы приведем ее в несколько вольном изложении).

С вершины ледяной горы катятся санки. Гору надо считать идеально гладкой, и санки движутся по ней безо всякого трения, все ускоряясь по мере спуска. Заданы местоположения: вершины горы и некоторой точки у ее основания. Спрашивается: какое очертание должна иметь гора, чтобы санки, скатываясь с ее вершины, достигали основания в самое короткое время?

Легко понять, что время спуска сильно зависит от очертания горы. Если сделать спуск прямолинейным, то санки вначале будут разгоняться медленно. Ясно, что по прямому спуску санки скользнут не в самое короткое время. Если же, наоборот, сначала сделать спуск очень крутым, санки быстро разгонятся, но зато у основания горы санкам придется пройти длинный участок.

Ни дуги круга, ни другие элементарные кривые не давали решения задачи о санках, катящихся с горы.

Эту задачу предложил Иоганн Бернулли. Он объявил, что обладает замечательным решением своей задачи, но не хочет публиковать этого решения. Пускай крупнейшие математики попробуют показать свое искусство в решении этого нового типа математических задач. Иоганн Бернулли особо вызывал на состязание своего старшего брата Якоба, с которым он тогда резко враждовал и которого именовал невеждой[7].

Кривая, по которой санки спустятся в течение самого короткого времени, получила название «брахистохроны», от греческих слов брахос — короткий и хронос — время.

Задача о брахистохроне увлекла многих современников Бернулли. В задачах на максимум и минимум, которые исследовались до того времени, требовалось найти только одну особую точку на заданною вида кривой, в задаче же о брахистохроне надо было найти всю кривую, обладающую некими особыми свойствами — «наилучшими» ли, «наихудшими» ли, во всяком случае экстремальными свойствами.

Задача о брахистохроне положила начало новой вет* ви математики — вариационному исчислению. Это более тонкий и сложный инструмент для поисков лучших решений, нежели простое исследование на максимум и минимум.

Наиболее известное из первых решений задачи о брахистохроне дал «невежественный» Якоб Бернулли Оказалось, что брахистохроной является незадолго до того открытая циклоида (фиг. 7-24), т. е. кривая, которую описывает точка на окружности, когда эта окружность катится без скольжения по прямой линии. Циклоиду незадолго до того исследовал Гюйгенс и нашел, что, если по этой кривой будет колебаться груз маятника, то период его колебания не будет зависеть от размаха. Поэтому циклоида называлась таутохронной кривой, т. е. кривой постоянного времени. Теперь оказалось, что она же является и брахистохроной.

Фиг. 7-24. Пособие для демонстрации циклоиды.

По закраине лоски катится круглый обруч. В обруче отверстие, кула вставлен грифель. Когда обруч катится, грифель описывает циклоиду.

Санки скатываются с вершины горы в кратчайшее

Фиг. 7-25. Таутохронная гора.

время, если вершину и подножье горы соединяет отрезок циклоиды. А если вершина горы и ее подножье к тому же так расположены, что между ними укладывается точно половина циклоиды, то на спуск как с вер-

Профиль горы имеет форму циклоиды. На разной высоте — в пунктах К, Я, Р стоят готовые к старту салазки. Одновременно по команде салазки начинают скользить. Все трое достигнут основания горы — точки Д—одновременно. Здесь произойдет столкновение.

шины горы, так и с любого ее другого места вниз к подножью будет всегда затрачиваться одно и то же время (фиг. 7-25).

Источник: Электричество работает Г.И.Бабат 1950-600M

Оставить комментарий

микросхемы мощности Устройство импульсов питания пример приемника провода витков генератора выходе напряжение напряжения нагрузки радоэлектроника работы сигнал сигнала сигналов управления сопротивление усилитель усилителя усиления устройства схема теория транзистора транзисторов частоты